设定双缝s1、s2的间距为d,双缝所在平面与光屏p平行。双缝与屏之间的垂直距离为l,我们在屏上任取一点p1,设定点p1与双缝s1、s2的距离分别为r1和r2,o为双缝s1、s2的中点,双缝s1、s2的连线的中垂线与屏的交点为p0,设p1与p0的距离为x,为了获得明显的干涉条纹,在通常情况下l>>d,在这种情况下由双缝s1、s2发出的光到达屏上p1点的光程差δr为
s2m=r2-r1≈dsinθ, (1)
其中θ也是op0与op1所成的角。 因为d<<l,θ很小,所以
sinθ≈tanθ=xl (2)
因此δr≈dsinθ≈dxl
当δr≈dxl=±kλ时,屏上表现为明条纹,其中k=0,1,2,……, (3)
当δr≈dxl =±(k+12 )λ时,屏上表现为暗条纹,其中是k=0,1,2,……。 (3′)
我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。
当x=±kld λ时,屏上表现为明条纹,其中k=0,1,2,…。 (4)
当x=±(k+12 )ld λ时,屏上表现为暗条纹,其中k=0,1,2,…。 (4′)
我们还可以算出相邻明条纹(或者暗条纹)中心问的距离为 δx=xk+1-xk=ldλ (5)
至此我们得出结论:杨氏双缝干涉条纹是等间距的。
此式近似成立的条件是∠s1p1s2很小,因此有s1m⊥s2p1,s1m⊥op1,因此∠p0op1=∠s2s1m,如果要保证∠s1p1s2很小,只要满足d<<l即可,因此δr≈dsinθ是满足的。
第2次近似是因为d<<l,θ很小,所以sinθ≈tanθ。下面我们通过表1来比较sinθ与tanθ的数值。
原理图如下:
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