(43) 平面法向量的求法及其应用嵩明县一中 吴学伟引言:本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍外积法求平面法向量的方法,因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入,将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确,那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。一、 平面的法向量 1、定义:如果 ,那么向量 叫做平面 的法向量。平面 的法向量共有两大类(从方向上分),无数条。2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中,设平面 的法向量 [或 ,或 ],在平面 内任找两个不共线的向量 。由 ,得 且 ,由此得到关于 的方程组,解此方程组即可得到 。方法二:任何一个 的一次次方程的图形是平面;反之,任何一个平面的方程是 的一次方程。 ,称为平面的一般方程。其法向量 ;若平面与3个坐标轴的交点为 ,如图所示,则平面方程为: ,称此方程为平面的截距式方程,把它化为一般式即可求出它的法向量。方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量,其外积 为一长度等于 ,(θ为 , 两者交角,且 ),而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」,也就是右手四指由 的方向转为 的方向时,大拇指所指的方向规定为 的方向, 。 (注:1、二阶行列式: ;2、适合右手定则。)例1、 已知, ,试求(1): (2): key: (1) ; 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 中,求平面aef的一个法向量 。二、 平面法向量的应用1、 求空间角(1)、求线面角:如图2-1,设 是平面 的法向量,ab是平面 的一条斜线, ,则ab与平面 所成的角为:图2-1-1: 图2-1-2: (2)、求面面角:设向量 , 分别是平面 、 的法向量,则二面角 的平面角为: (图2-2); (图2-3)两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定,在图2-2中, 的方向对平面 而言向外, 的方向对平面 而言向内;在图2-3中, 的方向对平面 而言向内, 的方向对平面 而言向内。我们只要用两个向量的向量积(简称“外积”,满足“右手定则”)使得两个半平面的法向量一个向内一个向外,则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角 的平面角。2、 求空间距离(1)、异面直线之间距离:方法指导:如图2-4,①作直线a、b的方向向量 、 ,求a、b的法向量 ,即此异面直线a、b的公垂线的方向向量;②在直线a、b上各取一点a、b,作向量 ;③求向量 在 上的射影d,则异面直线a、b间的距离为 ,其中 (2)、点到平面的距离:方法指导:如图2-5,若点b为平面α外一点,点a为平面α内任一点,平面的法向量为 ,则点p到平面α的距离公式为 (3)、直线与平面间的距离:方法指导:如图2-6,直线 与平面 之间的距离: ,其中 。 是平面 的法向量(4)、平面与平面间的距离:方法指导:如图2-7,两平行平面 之间的距离: ,其中 。 是平面 、 的法向量。3、 证明(1)、证明线面垂直:在图2-8中, 向是平面 的法向量, 是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量共线( )。(2)、证明线面平行:在图2-9中, 向是平面 的法向量, 是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量垂直( )。(3)、证明面面垂直:在图2-10中, 是平面 的法向量, 是平面 的法向量,证明两平面的法向量垂直( )(4)、证明面面平行:在图2-11中, 向是平面 的法向量, 是平面 的法向量,证明两平面的法向量共线( )。三、高考真题新解1、(2005全国i,18)(本大题满分12分)已知如图3-1,四棱锥p-abcd的底面为直角梯形,ab‖dc, 底面abcd,且pa=ad=dc= ab=1,m是pb的中点 (ⅰ)证明:面pad⊥面pcd;(ⅱ)求ac与pb所成的角;(ⅲ)求面amc与面bmc所成二面角的大小 解:以a点为原点,以分别以ad,ab,ap为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系a-xyz如图所示. , ,设平面pad的法向量为 , ,设平面pcd的法向量为 , ,即平面pad 平面pcd。 , , , ,设平在amc的法向量为 .又 ,设平面pcd的法向量为 . . 面amc与面bmc所成二面角的大小为 . 2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分) 如图3-2,在长方体abcd-a1b1c1d1中,已知ab=aa1=a,bc= a,m是ad的中点。(ⅰ)求证:ad‖平面a1bc;(ⅱ)求证:平面a1mc⊥平面a1bd1;(ⅲ)求点a到平面a1mc的距离。解:以d点为原点,分别以da,dc,dd1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系d-xyz如图所示. , ,设平面a1bc的法向量为 又 , , ,即ad//平面a1bc. , ,设平面a1mc的法向量为: ,又 , ,设平面a1bd1的法向量为: , , ,即平面a1mc 平面a1bd1. 设点a到平面a1mc的距离为d, 是平面a1mc的法向量,又 , a点到平面a1mc的距离为: .四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线,注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用,建立右手系),用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)(2)、通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)(3)、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(回到图形问题) 20210311