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离散数学。非空集合a上的全关系具有什么性质？

1亿粉丝 2024-05-20 17:27:06
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表示法：关系是集合，有类似于集合的表示方法.列举法，如r＝{<1,1>,<1,2>}；描述法：如关系矩阵： ría×b，r的矩阵关系图： r是集合上的二元关系，若îr，由结点ai画有向弧到bj构成的图形.2. 几个特殊的关系空关系æ；唯一是任何关系的子集的关系.全关系恒等关系 ，mi是单位矩阵.3. 关系的运算h关系的集合运算，有并、交、补、差和对称差.h复合关系，有复合关系矩阵： (布尔运算)，有结合律：(r·s)·t＝r·(s·t)h逆关系 ， ，(r·s)－1=s－1·r－1.4. 关系的性质h自反性；矩阵 的主对角线元素全为1；关系图的每个结点都有自回路.h反自反性 ；矩阵 的主对角线元素全为0；关系图的每个结点都没有自回路.h对称性若 ，则 ；矩阵 是对称矩阵，即 ；关前或系图中有向弧成对出现,方向相反.h反对称性若 且 ，则x=y或若 ，则 ；矩阵 不出现对称元素型宽.h传递性若 且 ，则 ；在关系图中，有从a到b的弧，有从b到c的弧，则有从a到c的弧. 判断传递性较为困难.可以证明：r是集合a上的二元关系，(1)r是自反的ûiaí;r; (2)r是反自反的ûiaçr＝æ;(3)r是对称的 ûr=r-1; (4)r是反对称的ûrçr－1íia；(5)r是传递的ûr·rír.设a，b为任意集合，一个从an到b的映射，称为集合a上的一个n元运算。如果b a，则称该n元运算时封闭的。一个非空集合a，连同若干个定义在该集合上的运算f1，f2，…，fk所组成的系统，称为一个代数系统，记作：<a, f1，f2，…，fk>。设a为任意非空集合，*是集合a上的二元运算。（1）封闭性：对任意a，b∈a，若有a*b∈a，则称运算*关于集合是封闭的。（2）结合律：对任意a，b，c∈a，若有a*（b*c）=（a*b）*c，则称运算*在集合a是可结合的，或称运算*在a上满足结合律。（3）交换律：对任意a，b∈a，若有a*b=b*a，称为运算*在a上市可交换的，或称*运算在a上满足交换律。（4）幂等率：若对 a∈a，有a*a=a，则称运算*在a上市幂等的，或称运算×在a上满足幂等率。（5）分配律：若对 a，b，c∈a有 ： a (b*c)=(a b)*(a c) 和（b*c） a=（b a）*（c a）成立，则称运算 对*时可分配的，或称运算*满足分配律。（6）吸收率：若 和*满足交换律而且有： a，b∈a，并有a (b*c)=a和a* (b c)=a，则称 和*运算时可吸收的，或称 和*运算满足吸收率。定义4.1.4 设*为集合a上的二元运算，若存在 （或 ），使得对于 x∈a，都有 （或 ），则称 （或 ）是a中关于*运算的左（或右）幺元（或单位元）。如果a中一个元素e，它既是左幺元，又是右幺元，则成e是a中关于运算* 的遥远。显然对于任一x∈a，e*x=x*e=x。定义4.1.5 设*式定义在集合a上的二元运算，如果有一个元素 ，对于任意元素 都有 ，则称 为a中关于运算*的左零元；如果有一个元素 ，对于任意元素 都有 ，则称 为a中关于运算*的右零元。如果a中的一个元素 ，他既是左零元，又是右零元，则称 为a上关于运算*的零元。 设*是集合a上的二元运算，且在a中有关于运算*的左幺元 和右幺元 ，则 ，且a中幺元是惟一的。设*是定义在集合a上的二元关系，在a中有关于运算*的左零元 和右零元 那么 ，且a中零元是惟一的。定理4.1.3 设有代数系统<a，*>中，a的元素个数多于1，若其存在关于运算*的单位元e与零元o，则 。定义4.1.6 设代数系统<a，*>中，e是关于*的单位元，若对a中某个元素a，存在a的一个元素b，使得b*a=e，则称b为a 的一个左逆元；若a*b=e，则称b为a的一个右逆元。若一个元素b，既是a 的左逆元，又是a的右逆元，则称b是a的一个逆元，记作 。设代数系统<a，*>，这里*是定义在a上的二元运算，a中存在幺元e，且每一个元素都有左逆元，如果*是可结合运算，那么这个代数系统中，任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元，且每个元素的逆元是惟一的。如果两个代卜悔亮数系统中运算的个数相同，对应运算的元数也相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型的代数系统。同类型的代数系统仅仅是构成成分相同，不一定具有相同运算性质。定义4.1.8 设 是代数系统， ，且b对 都是封闭的，b和s还含有相同的代数常数，则称 是v的子代数系统，简称子代数。定义4.2.1 设*是集合s上的二元运算，若运算*时封闭的，并且*是可结合的，则称代数系统<s，*》为半群。这个定义包括两点，及对于任意 ，（1） ，（2）(a*b)*c=a*(b*c)设<s，*>是一个半群， ，且*在b上封闭，那么<b，*>也是一个半群，通常称<b，*>是半群<s，*>的子半群。若半群<s，*>中存在一个幺元则称<s，*>为独异点（或含幺半群）。设<s，*>是独异点，对于 ，且a， b均有逆元，则：（1） ，（2）若a*b有逆元，则 。 设<g，*>是一个代数系统，其中g是非空集合，*是g上一个二元运算，（1）如果*是封闭的；（2）运算*时可结合的；（3）存在幺元e；（4）对于每一个元素 ，存在它的逆元 ；则称<g，*>是一个群。设<g，*>是一个群，如果g是有限群，那么称<g，*>为有限群，g中元素的个数统称称为该有限群的阶数，记为 。 若群g中，只含有一个元素，即g=|e|，|g|=1，则称g为平凡群。 20210311
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