蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上.由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名,定理内容:圆o中的弦pq的中点m,任作两弦ab,cd,弦ad与bc分别交pq于x,y,则m为xy之中点. 出现过许多优美奇特的解法,其中最早的,应首推霍纳在职815年所给出的证法.至于初等数学的证法,在国外资料中,一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的,它给予出的是面积证法,其中应用了面积公式:s=1/2 bcsina.1985年,在河南省《数学教师》创刊号上,杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题,载文向国内介绍蝴蝶定理,从此蝴蝶定理在神州大地到处传开. 这里介绍一种较为简便的初等数学证法. 证明:过圆心o作ad与b牟垂线,垂足为s、t,连接ox,oy,om.sm.mt. ∵△smd∽△cmb,且sd=1/2adbt=1/2bc, ∴ds/bt=dm/bm又∵∠d=∠b ∴△msd∽△mtb,∠msd=∠mtb ∴∠msx=∠mty;又∵o,s,x,m与o,t.y.m均是四点共圆, ∴∠xom=∠yom ∵om⊥pq∴xm=ym如图1,椭圆的长轴a1a2与x轴平行,短轴b1b2在y轴上,中心为m(o,r)(b>r>0).(ⅰ)写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率;(ⅱ)直线y=kx交椭圆于两点c(x1,y1),d(x2,y2)(y2>0);直线y=k2x交椭圆于两点g(x3,y3),h(x4,y4)(y4>0).求证:k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)(ⅲ)对于(ⅱ)中的c,d,g,h,设ch交x轴于点p,gd交x轴于点q.求证: | op | = | oq |.(证明过程不考虑ch或gd垂直于x轴的情形) 20210311