怎样求一元三次方程的根

孬子 2024-05-14 09:18:15

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型形如ax^3＋bx^2＋cx＋d=0，（a，b，c，d∈r，且a≠0）的方程是一元三次方程的标准型。编辑本段公式解法1．卡尔丹公式法（卡尔达诺公式法）特殊型一元三次方程x^3＋px＋q=0 (p、q∈r) 判别式δ=(q/2)^2＋(p/3)^3 【卡尔丹公式】 x1=(y1)^(1/3)＋(y2)^(1/3)； x2= (y1)^(1/3)ω＋(y2)^(1/3)ω^2；标准型方程中卡尔丹公式的一个实根 x3=(y1)^(1/3)ω^2＋(y2)^(1/3)ω，其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2； y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)。标准型一元三次方程ax ^3＋bx ^2＋cx＋d=0 令x=y—b/(3a)代入上式，可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程y^3＋py＋q=0。【卡尔丹判别法】当δ=(q/2)^2＋(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；当δ=(q/2)^2＋(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；当δ=(q/2)^2＋(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。2．盛金公式法三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。【盛金公式】一元三次方程ax^3＋bx^2＋cx＋d=0，（a，b，c，d∈r，且a≠0）。重根判别式：a=b^2－3ac；b=bc－9ad；c=c^2－3bd，总判别式：δ=b^2－4ac。当a=b=0时，盛金公式①： x⑴=x⑵=x⑶=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。当δ=b^2－4ac>0时，盛金公式②： x⑴=(－b－y⑴^(1/3)－y⑵^(1/3))/(3a)； x(2，3)=(－2b＋y⑴^(1/3)＋y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(y⑴^(1/3)－y⑵^(1/3))/(6a)；其中y(1，2)=ab＋3a(－b±(b^2－4ac)^(1/2))/2，i^2=－1。当δ=b^2－4ac=0时，盛金公式③： x⑴=－b/a＋k；x⑵=x3=－k/2，其中k=b/a，(a≠0)。当δ=b^2－4ac<0时，盛金公式④： x⑴=(－b－2a^(1/2)cos(θ/3))/(3a)； x(2，3)=(－b＋a^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)；其中θ=arccost，t=(2ab－3ab)/(2a^(3/2))，(a>0，－1<t<1) 【盛金判别法】 ①：当a=b=0时，方程有一个三重实根； ②：当δ=b^2－4ac>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； ③：当δ=b^2－4ac=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； ④：当δ=b^2－4ac<0时，方程有三个不相等的实根。【盛金定理】当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当a=0时，盛金公式③无意义；当a≤0时，盛金公式④无意义；当t＜-1或t＞1时，盛金公式④无意义。当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在a≤0的值？盛金公式④是否存在t＜-1或t＞1的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理1：当a=b=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。盛金定理2：当a=b=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。盛金定理3：当a=b=0时，则必定有c=0（此时,适用盛金公式①解题）。盛金定理4：当a=0时，若b≠0，则必定有δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。盛金定理5：当a＜0时，则必定有δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。盛金定理6：当δ=0时，若b=0，则必定有a=0（此时，适用盛金公式①解题）。盛金定理7：当δ=0时，若b≠0，盛金公式③一定不存在a≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。盛金定理8：当δ＜0时，盛金公式④一定不存在a≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。盛金定理9：当δ＜0时，盛金公式④一定不存在t≤-1或t≥1的值，即t出现的值必定是-1＜t＜1。显然，当a≤0时，都有相应的盛金公式解题。注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当δ＞0时，不一定有a＜0。盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。当δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式a=b^2－3ac；b=bc－9ad；c=c^2－3bd是最简明的式子，由a、b、c构成的总判别式δ=b^2－4ac也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－b±(b^2－4ac)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。盛金公式解法的以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，**海南。国内统一刊号：cn46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（natural science journal of hainan teacheres college , hainan province, china. vol. 2, no. 2；dec，1989）, a new extracting formula and a new d**tingu**hing means on the one variable cubic equation.， fan shengjin. pp·91—98 20210311

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