勾股定理16种证明方法

1【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a²+b²+4x1/2ab=c²+4x1/2ab， 整理得a²+b²=c²。2【证法2】（邹元治证明）以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使a、e、b三点在一条直线上，b、f、c三点在一条直线上，c、g、d三点在一条直线上. ∵ rtδhae ≌ rtδebf, ∴ ∠ahe = ∠bef.∵ ∠aeh + ∠ahe = 90o, ∴ ∠aeh + ∠bef = 90o. ∴ ∠hef = 180o―90o= 90o.∴ 四边形efgh是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵ rtδgdh ≌ rtδhae,∴ ∠hgd = ∠eha. ∵ ∠hgd + ∠ghd = 90o,∴ ∠eha + ∠ghd = 90o.又∵ ∠ghe = 90o,∴ ∠dha = 90o+ 90o= 180o.∴ abcd是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)².∴(a+b)²=4x1/2ab+c²∴ a²+b²=c²。3【证法3】（赵爽证明）以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ rtδdah ≌ rtδabe,∴ ∠hda = ∠eab.∵ ∠had + ∠had = 90o，∴ ∠eab + ∠had = 90o， 2∴ abcd是一个边长为c的正方形，它的面积等于c.∵ ef = fg =gh =he = b―a ,∠hef = 90o.∴ efgh是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)².∴(b-a)²=4x1/2ab+c²∴ a²+b²=c²。4【证法4】（1876年美国**garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab形的面积等于2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使a、e、b三点在一条直线上. ∵ rtδead ≌ rtδcbe,∴ ∠ade = ∠bec. ∵ ∠aed + ∠ade = 90o, ∴ ∠aed + ∠bec = 90o.∴ ∠dec = 180o―90o= 90o. ∴ δdec是一个等腰直角三角形， 12c2它的面积等于.又∵ ∠dae = 90o, ∠ebc = 90o,∴ ad∥bc.∴ abcd是一个直角梯形，它的面积等于1/2(a+b)².∴1/2(a+b)²=2x1/2ab+1/2c²∴ a²+b²=c²。5【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使d、e、f在一条直线上. 过c作ac的延长线交df于点p.∵ d、e、f在一条直线上, 且rtδgef ≌ rtδebd,∴ ∠egf = ∠bed，∵ ∠egf + ∠gef = 90°， ∴ ∠bed + ∠gef = 90°，∴ ∠beg =180o―90o= 90o. 又∵ ab = be = eg = ga = c，∴ abeg是一个边长为c的正方形. ∴ ∠abc + ∠cbe = 90o.∵ rtδabc ≌ rtδebd,∴ ∠abc = ∠ebd. ∴ ∠ebd + ∠cbe = 90o. 即 ∠cbd= 90o. 又∵ ∠bde = 90o，∠bcp = 90o， bc = bd = a.∴ bdpc是一个边长为a的正方形.同理，hpfg是一个边长为b的正方形.设多边形ghcbe的面积为s，则a²+b²=s+2x1/2ab,c²=s+2x1/2ab∴a²+b²=c².6证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使e、a、c三点在一条直线上. 过点q作qp∥bc，交ac于点p. 过点b作bm⊥pq，垂足为m；再过点f作fn⊥pq，垂足为n. ∵ ∠bca = 90o，qp∥bc， ∴ ∠mpc = 90o， ∵ bm⊥pq， ∴ ∠bmp = 90o， ∴ bcpm是一个矩形，即∠mbc = 90o. ∵ ∠qbm + ∠mba = ∠qba = 90o，∠abc + ∠mba = ∠mbc = 90o， ∴ ∠qbm = ∠abc，又∵ ∠bmp = 90o，∠bca = 90o，bq = ba = c，∴ rtδbmq ≌ rtδbca.同理可证rtδqnf ≌ rtδaef.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.7【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使h、c、b三点在一条直线上，连结 bf、cd. 过c作cl⊥de，交ab于点m，交de于点l. k∵ af = ac，ab = ad， ∠fab = ∠gad， ∴ δfab ≌ δgad， 12a∵ δfab的面积等于2，δgad的面积等于矩形adlm的面积的一半， ∴ 矩形adlm的面积 =a²同理可证，矩形mleb的面积 =b².∵ 正方形adeb的面积 = 矩形adlm的面积 + 矩形mleb的面积∴ c²=a²+b² 。8【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在rtδabc中，设直角边ac、bc的长度分别为a、b，斜边ab的长为c，过点c作cd⊥ab，垂足是d.在δadc和δacb中， ∵ ∠adc = ∠acb = 90o，∠cad = ∠bac， ∴ δadc ∽ δacb.ad∶ac = ac ∶ab，即 ac²=adxab.同理可证，δcdb ∽ δacb，从而有 bc²=bdxab.∴ ac²+bc²=(ad+db)xab=ab²，即 a²+b²=c²、9【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过a作af⊥ac，af交gt于f，af交dt于r. 过b作bp⊥af，垂足为p. 过d作de与cb的延长线垂直，垂足为e，de交af于h. ∵ ∠bad = 90o，∠pac = 90o，∴ ∠dah = ∠bac. 又∵ ∠dha = 90o，∠bca = 90o， ad = ab = c， ∴ rtδdha ≌ rtδbca.∴ dh = bc = a，ah = ac = b由作法可知， pbca 是一个矩形，所以 rtδapb ≌ rtδbca. 即pb =ca = b，ap= a，从而ph = b―a.∵ rtδdgt ≌ rtδbca ,rtδdha ≌ rtδbca.∴ rtδdgt ≌ rtδdha .∴ dh = dg = a，∠gdt = ∠hda .又∵ ∠dgt = 90o，∠dhf = 90o，∠gdh = ∠gdt + ∠tdh = ∠hda+ ∠tdh = 90o，∴ dgfh是一个边长为a的正方形.∴ gf = fh = a . tf⊥af，tf = gt―gf = b―a .∴ tfpb是一个直角梯形，上底tf=b―a，下底bp= b，高fp=a +（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为c²=s₁+s₂+s₃+s₄+s₅ ①∵ s₈+s₃+s₄=1/2[b+(b-a)]x[a+(b-a)]=b²-1/2abs₅=s₉+s₈∴s₃+s₄=b²-1/2ab-s=b²-s₁-s₃ ②把②代入①，得 c²=s₁+s₂+b²-s₁-s₈+s₈+s₉=b²+s₂+s₉=b²+a²∴ a²+b²=c².10【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使a、e、g三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠tbe = ∠abh = 90o， ∴ ∠tbh = ∠abe. r又∵ ∠bth = ∠bea = 90o，bt = be = b， ∴ rtδhbt ≌ rtδabe. ∴ ht = ae = a. ∴ gh = gt―ht = b―a. 又∵ ∠ghf + ∠bht = 90o， ∠dbc + ∠bht = ∠tbh + ∠∴ ∠ghf = ∠dbc. ∵ db = eb―ed = b―a，∠hgf = ∠bdc = 90o，∴ rtδhgf ≌ rtδbdc. 即 s₇=s₂.过q作qm⊥ag，垂足是m. 由∠baq = ∠bea = 90o，可知 ∠abe= ∠qam，而ab = aq = c，所以rtδabe ≌ rtδqam . 又rtδhbt ≌ rtδabe. 所以rtδhbt ≌ rtδqam . 即 s₈=s₅.由rtδabe ≌ rtδqam，又得qm = ae = a，∠aqm = ∠bae.∵ ∠aqm + ∠fqm = 90o，∠bae + ∠car = 90o，∠aqm = ∠bae， ∴ ∠fqm = ∠car.又∵ ∠qmf = ∠arc = 90o，qm = ar = a，∴ rtδqmf ≌ rtδarc. 即s₄=s₆.c²=s₁+s₂+s₃+s₄+s₅, a²=s₁+s₆ b²=s₃+s₇+s₈，又∵ s₇=s₂，s₈=s₅，s₄=s₆，∴a²+b²=s₁+s₆+s₃+s₇+s₈=s₁+s₄+s₃+s+₂s₅=c²，即 a²+b²=c².11【证法11】（利用切割线定理证明）在 rtδabc中，设直角边bc = a，ac = b，斜边ab = c. 如图，以b为圆心a为半径作圆，交ab及ab的延长线分别于d、e，则bd = be = bc = a. 因为∠bca = 90o，点c在⊙b上，所以ac是⊙b 的切线. 由切割线定理，得ac²=aexad=(ab+be)(ab-bd) =(c+a)(c-a)= c²-a²，即b²=c²-a²，∴ a²+b²=c².12【证法12】（利用多列米定理证明）在rtδabc中，设直角边bc = a，ac = b，斜边ab = c（如图）. 过点a作ad∥cb，过点b作bd∥ca，则acbd为矩形，矩形acbd内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有abxdc=adxbc+acxbd，∵ ab = dc = c，ad = bc = a， ac = bd = b，∴ ab²=bc²+ac²，即 c²=a²+b².13【证法13】（作直角三角形的内切圆证明） 在rtδabc中，设直角边bc = a，ac = b，斜边ab = c. 作rtδabc的内切圆⊙o，切点分别为d、e、f（如图），设⊙o的半径为r.∵ ae = af，bf = bd，cd = ce，∴ ac+bc-ab=(ae+ce)+(bd+cd)-(af+bf)= ce+cd= r + r = 2r,即 a+b-c=2r，∴ a+b=2r+c.∴(a+b)²=(2r+c)²即a²+b²+2ab=4(r²+rc)+c²∵ s△abe=1/2ab，∴ 2ab=4s△abe，又∵ s△abe=s△aob+s△boc+s△aoc =1/2cr+1/2ar+1/2br=1/2(a+b+c)r=1/2(2r+c+c)r=r²+rc，∴4(r²+rc)=4s△abc，∴4(r²+rc= 2ab∴a²+b²+2ab=2ab+c²， ∴ a²+b²=c².14【证法14】（利用反证法证明）如图，在rtδabc中，设直角边ac、bc的长度分别为a、b，斜边ab的长为c，过点c作cd⊥ab，垂足是d.假设a²+b²不等于c².，即假设 ac²+bc²不等于ab²，则由 ab²=abxab=ab(ad+bd)=abxad+abxbd22可知 ac²不等于abxad，或者 bc²不等于abxbd. 即 ad：ac≠ac：ab，或者 bd：bc≠bc：ab.在δadc和δacb中，∵ ∠a = ∠a， ∴ 若 ad：ac≠ac：ab，则∠adc≠∠acb. 在δcdb和δacb中，∵ ∠b = ∠b，∴ 若bd：bc≠bc：ab，则 ∠cdb≠∠acb.又∵ ∠acb = 90o，∴ ∠adc≠90o，∠cdb≠90o.这与作法cd⊥ab矛盾. 所以，ac²+bc²=ab²的假设不能成立.∴ a²+b²=c²15【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形abcd. 把正方形abcd划分成上方左图所示的几个部分，则正方形abcd(a+b)=a²+b²+2ab；把正方形abcd划分成上方右图所示的几个的面积为c部分，则正方形abcd的面积为∴ (a+b)²=4x1/2ab+c²=2ab+c²,∴ a²+b²+2ab=2ab+c².∴a²+b²=c².16【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使e、h、m三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在eh = b上截取ed = a，连结da、dc，则 ad = c. ∵ em = eh + hm = b + a , ed = a， ∴(b+a) dm = em―ed = (b+a)―a = b. 又∵ ∠cmd = 90o，cm = a， ∠aed = 90o， ae = b，∴ rtδaed ≌ rtδdmc.∴ ∠ead = ∠mdc，dc = ad = c.∵ ∠ade + ∠adc+ ∠mdc =180o， m∠ade + ∠mdc = ∠ade + ∠ead = 90o，∴ ∠adc = 90o.∴ 作ab∥dc，cb∥da，则abcd是一个边长为c的正方形.∵ ∠baf + ∠fad = ∠dae + ∠fad = 90o，∴ ∠baf=∠dae.连结fb，在δabf和δade中，∵ ab =ad = c，ae = af = b，∠baf=∠dae，∴ δabf ≌ δade.∴ ∠afb = ∠aed = 90o，bf = de = a.∴ 点b、f、g、h在一条直线上.在rtδabf和rtδbcg中，∵ ab = bc = c，bf = cg = a，∴ rtδabf ≌ rtδbcg . ∵c²=s₂+s₃+s₄+s₅ b²=s₁+s₂+s₆ a²=s₃+s₇s₁=s₅=s₄=s₆+s₇， ∴a²+b²=s₃+s₇+s₁+s₂+s₆=s₂+s₃+s₁+(s₆+s₇)=s₂+s₃+s₄+s₅ =c²∴ a²+b²=c².end 20210311