圆的反演变换及动态图演示

长发绾君心 2024-05-28 07:54:01
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1 首先约定,反演圆的圆心o是反演中心。规定反演半径就是反演圆的半径r(在解题和具体的应用上,可以用不同的反演半径,不必非得是反演圆的半径)。 再约定,如果a经过反演之后变成a',那么,o、a、a'共线,且oa·oa'=r^2。 具体的作图过程,见下面的动态图。注意,要把反演点视为圆和直线的交点,而不是圆和线段的交点,因为反演点有可能跑到线段的延长线上,此时几何画板有可能忽略这些点。2 不同的图形会有不同的反演成像。同一个图形,如果到反演中心的距离不同,也会有不同的反演成像。下面,就用几何画板演示一个几何图形的反演成像。 在几何图形上取任意点p,作出它的反演点p',选中p、p',构造轨迹,这时候看到p'的轨迹就是反演成像。这时候,用鼠标改变原图与o的距离,看看成像会有什么变化。2本页面非法爬取自百度经验3 圆在不同情形下的反演成像。 当圆不经过反演中心,它的反演图形仍旧是个圆: 当圆与反演圆相交,交点是保持不变的; 当圆在反演圆的外面的时候,反演成像位于圆的内部;反过来,当圆位于反演圆的内部,反演成像位于圆的外部。 当圆经过反演中心,它的反演图形是一条直线。4 作点的反演变换,是一个繁琐的过程,尤其是要作多个图形的反演变换,只能一步一步地作出各个图形的反演图形。怎么快速作多个图形的反演变换呢?只能用自定义工具了。我们先把“点的反演变换”作成一个工具,可以快速地作出曲线上自由点的反演点,然后构造轨迹,就画出了曲线的反演图形。 具体的步骤如下: 打开几何画板,新建文件,在画布上绘制四个点a、b、c、d; 连结线段ab,以c为圆心、ab为半径作圆(这就是反演圆,ab为反演半径); 作出d的反演点d'(具体步骤见上面第一步),把不相关的东西隐藏起来; 选中整个图形,鼠标长按左侧的“自定义工具”,点击“创建新工具”,在弹出的“新建工具”对话框里,输入工具名称——“点的反演变换”,点击“确定”,再用快捷键“ctrl”+“s”,保存文件名为“点的反演变换”。 此时,如果关闭这个文件,刚才的自定义工具“点的反演变换”就不在几何画板里面了。不要担心,因为只要打开“点的反演变换”这个文件,相应的自定义工具“点的反演变换”也同时会进入几何画板。 具体用法见下图。5 用反演变换的方法来构造steiner圆链。 这里用一个简单的情形来演示一下(正六边形最容易作图,哈哈): 先作一个圆及其内接正六边形,连结圆心和正六边形的顶点,把正六边形分成六个小三角形; 作出这六个小三角形的内切圆,可以知道这六个小圆是依次相切的; 隐藏各直线型和大圆,但保留大圆圆心; 作大圆的两个同心圆,分别与六个小圆相外切、相内切; 对这整个图形作反演变换,反演变换的结果是,同心圆变成偏心圆。end 20210311
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