求错位排列的公式

阿迪呀~ 2024-06-03 22:35:03
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设1,2,...,n的全b1,b2,...,bn的a,而使bi=i的全排列的集合记为ai(1<=i<=n),则dn=|a|-|a1∪a2∪...∪an|.所以dn=n-|a1∪a2∪...∪an|.到|ai|=(n-1)!,|ai∩aj|=(n-2)!,...,|a1∩a2∩...∩an|=0!=1。由容斥原理:dn=n!-|a1∪a2∪...∪an|=n!-c(n,1)(n-1)!+c(n,2)(n-2)!-c(n,3)(n-3)!+...+(-1)^nc(n,n)*0!=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!) 20210311
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