有关双曲线的公式

李爱神呢 2024-05-12 23:26:05

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f1（-c,0）、f2（c,0）是双曲线c：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0,c^2=a^2＋b^2）的2焦点p（x0,y0）为c上的一点，我们称pf1｜、｜pf2｜为双典线的焦半径，则｜pf1｜=±（a＋ex0）,｜pf2｜=±（ex0-a）,（e=c/a为离心率）．当点在双曲线的右支上时取“＋”．当点在双曲线的左支上时取“-”．在平面直角坐标系中，二元二次方程h(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。　　 1. a,b,c不都是0。　　2. b^2 - 4ac > 0。　　在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。　　双曲线的简单几何性质 1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）。　　 2、对称性：关于坐标轴和原点对称。　 3、顶点：a(-a,0)， a'(a,0)。同时 aa'叫做双曲线的实轴且∣aa'│=2a. 　　b(0,-b)， b'(0,b)。同时 bb'叫做双曲线的虚轴且│bb'│=2b. 　　 4、渐近线：　　　焦点在x轴：y=±(b/a)x. 　　焦点在y轴：y=±(a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与x轴夹角　　令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos(1/e) 　　令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 　　令θ=pi，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e 　　这两个x是双曲线定点的横坐标。　　求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）　　x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 　　（注意化简一下）　　直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 　　是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。　　将这条直线顺时针旋转pi/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’ 　　则θ’=θ-[pi/2-arccos(1/e)] 　　则θ=θ’+[pi/2-arccos(1/e)] 　　代入上式：　　ρcos{θ’+[pi/2-arccos(1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 　　即：ρsin[arccos(1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 　　现在可以用θ取代式中的θ’了　　得到方程：ρsin[arccos(1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 　　现证明双曲线x^2/a^2-y^/b^2=1 上的点在渐近线中　　　设m(x,y)是双曲线在第一象限的点，则　　y=(b/a)√(x^2-a^2) (x>a) 　　因为x^2-a^2<x^2,所以y=(b/a)√(x^2-a^2)<b/a√x^2=bx/a 　　即y<bx/a 　　所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方　　根据对称性第二、三、四象限亦如此　　5、离心率：　　第一定义： e=c/a 且e∈(1，+∞). 　　第二定义：双曲线上的一点p到定点f的距离│pf│ 与点p到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e. 　　d点│pf│/d线（点p到定直线(相应准线)的距离）=e 　　6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点p(x,y)到焦点距离）　　左焦半径：r=│ex+a│　　　右焦半径：r=│ex-a│ 　　7、等轴双曲线　　一双曲线的实轴与虚轴长相等即：2a=2b 且 e=√2 　　这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）　　8、共轭双曲线　　双曲线s'的实轴是双曲线s的虚轴且双曲线s'的虚轴是双曲线s的实轴时，称双曲线s'与双曲线s为共轭双曲线。　　几何表达：s：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 s'：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 　　特点：（1）共渐近线　　（2）焦距相等　　（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 　　9、准线：焦点在x轴上：x=±a^2/c 　　焦点在y轴上：y=±a^2/c 　　10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）　　d=2b^2/a　　　11、过焦点的弦长公式：　　d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 　　12、弦长公式：　　d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下：　　由直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 　　得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 　　分别代入两点间的距离公式：|ab| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ] 　　稍加整理即得：　　|ab| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |ab| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²) 　　·双曲线的标准公式与反比例函数　　　x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 　　而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0) 　　但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的　　因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴　　所以应该旋转45度　　设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针）　　(a为双曲线渐进线的倾斜角) 　　则有　　x = xcosa + ysina 　　y = - xsina + ycosa 　　取 a = π/4 　　则　　x^2 - y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2 　　= (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 　　= 4 (√2/2 x) (√2/2 y) 　　= 2xy. 　　而xy=c 　　所以　　x^2/(2c) - y^2/(2c) = 1 (c>0) 　　y^2/(-2c) - x^2/(-2c) = 1 (c<0) 　　由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.编辑本段·双曲线焦点三角形面积公式　　若∠f1pf2=θ, 　　则s△f1pf2=b^2;·cot（θ/2) 　　·例：已知f1、f2为双曲线c：x^2;-y^;=1的左右焦点，点p在c上，∠f1pf2=60°，则p到x轴的距离为多　　少？　　解：由双曲线焦点三角形面积公式得s△f1pf2=b^2;·cot（θ/2)=1×cot30°，　　设p到x轴的距离为h，则s△f1pf2=½×f1f2×h=½2√2×h=√3， h=√6/2·双曲线参数方程　　双曲线的参数方程:x=a secθ (正割) y=b tanθ ( a为实半轴长， b为虚半轴长， θ为参数。) 20210311

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